لغز رياضي

هذا السؤال قدم في المبياد عالمي في الرياضيات وكان ضمن أصعب الأسئلة المطروحة، ولكن بالتفكير فيه وتحديه سوف تتعرف على طريقة الحل وتقديم الاجابة

السؤال:

تلاميذ وأساتذة معهد (1991 في الجملة) أرادوا اجتياز نهر اعترض طريقهم، فاستعملوا لوحة لا تستطيع حمل أكثر من 100 كغ،

إذا كان وزن كل تلميذ 50 كغ ووزن كل أستاذ 100 كغ، واحتاجوا على الأقل لـ 4235 جولة باللوحة لينتقل الجميع الى الضفة الثانية (ذهاب – اياب يعتبر جولتين)

فكم كان عدد تلاميذ هذا المعهد؟ حاول ان تجد الاجابة قبل اللجو ء الى قراءة الحل في الاسفل.

الحل

حسنا جدا، سأحاول تبسيط الحل لدرجة تكون مفهومة للجميع باذن الله.

العدد الجملي = عدد التلاميذ + عدد الأساتذة = 1991
عدد الرحلات ذهاب واياب = 4235
وزن كل تلميذ 50 كغ
وزن كل أستاذ 100 كغ
لسهولة كتابة الحل سنفرض أن عدد التلاميذ يساوي a وعدد الأساتذة يساوي b ومهمتنا هي البحث عن العدد a

– – – – – – –

لينتقل الجميع، يجب أن تقسم الرحلة الى 3 مراحل بسيطة

المرحلة الأولى

وفيها ينتقل عدد من التلاميذ مساوي لعدد الأساتذة، لأن البداية تكون بهذا لأنه لو امتطى الخشبة أستاذ لن نجد من يعيدها الى الضفة الأولى، ينتقل تلميذان، ينزل واحد والآخر يعود بها ليركب تلميذ آخر وهكذا حتى ينتقل عدد مساوي لعدد الأساتذة، إذا لينتقل عدد مساوي للأساتذة يجب القيام بـ 2b رحلة (مثلا لينتقل 4 أساتذة يجب القيام بـ 8 رحلات)

المرحلة الثانية

وفيها يبدأ انتقال الأساتذة، يعود بالخشبة تلميذ وينزل ليأخذها أستاذ، عند وصوله يركبها تلميذ آخر وبوصوله يمتطيها استاذ ثان وهكذا حتى ينتقل الجميع، فيكون عدد الرحلات أيضا 2b

المرحلة الثالثة والأخيرة

ينتقل كل التلاميذ، يركب اثنان، وبالوصول ينزل أحدهما ويعود بها الآخر،وبالتالي فلكي ينتقل الجميع يجب القيام بـ 2a ناقص واحد أي (2a – 1) وهذا هو الفخ في هذا اللغز، نقص الواحد لأنه وبوصول آخر إنين لا يوجد هنالك رجوع بالخشبة.

تكون الحالة إذا:

a + b = 1991
2b + 2b + 2a – 1 = 4235

أي

a + b = 1991
4b + 2a = 4236

أي

b = 1991 – a
2b + a = 4236 : 2 = 2118

عوض b بالعدد (1991 – a)  وتقوم بعمليات الجمع والطرح المعروفة وتتحصل على عدد التلاميذ المساوي لـ 1864